Question

求解3道关于四点共圆的数学题

给出锐角三角形ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC'及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB'及其延长线交于P,Q。求证：M,N,P,Q四点共圆。
如图：在圆O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交圆O于点E,DE与BC交于点N。求证：BN=CN
NS是圆O的直径，弦AB垂直于NS与M，P为弧ANB上异于N的任意一点，PS交AB于R，PM的延长线交圆O于Q。求证：RS>MQ.
要求配图

Answer 1

1.

证明：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM．
由射影定理，得AM*AM=AC'*AB，AP*AP=AC*AB'，又B、C、B'、C'四点共圆，
由切割线定理，AC'*AB=AC*AB'，
∴AM=AP，又AM=AN，AP=AQ（垂直于直径的弦性质），
∴AM=AP=AN=AQ，M、N、P、Q是共圆心为A的圆．
须证MK•KN=PK•KQ，
即证（MC′-KC′）（MC′+KC′）
=（PB′-KB′）•（PB′+KB′）
或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2．①
∵AP=AM（所对弧长相等），
从而有AB′2+PB′2=AC′2+MC′2．
故MC′2-PB′2=AB′2-AC′2
=（AK2-KB′2）-（AK2-KC′2）
=KC′2-KB′2．②
由②即得①，命题得证．

2.

证明：连接AC和BD．
∵弦CD垂直于直径AB，
∴BC=BD．
∴∠BCD=∠BDC．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠BDC=∠OAC，
∴∠BCD=∠OCA．
∴△BCD∽△OCA．
∴CB/CO =CD/CA    

在△CDN和△CAM中，
∵∠DCN=∠ACM，∠CDN=∠CAM，
∴△CDN∽△CAM．（20分）
∵CN/CM=CD/CA=CB/CO=CB/2CM，

∴CN=1/2CB，即BN=CN.

3.

证明：连接NP，NQ，NR，NR的延长线交⊙O于Q′．连接MQ′，SQ′，
易证N，M，R，P四点共圆，
∴∠SNQ′=∠MNR=∠MPR=∠SPQ=∠SNQ．
根据圆的轴对称性质可知Q与Q′关于NS成轴对称，∴MQ′=MQ．
又易证M，S，Q′，R四点共圆，
且RS是这个圆的直径（∠RMS=90°），MQ′是一条弦（∠MSQ′＜90°），
∴RS＞MQ′．但MQ=MQ′，
∴RS＞MQ．

Answer 2

可以用同弧所对角相等  以及  四边形一角的外角与内对角相等  判定

切入点为AC'C  AB'B为直角

Answer 3

菁优网上都有的，搜一下吧。答案全写下来太长了……

追问

一边玩去，别来捣乱

追答

哎……

1.（第19届美国数学奥林匹克）

证明：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM．
由射影定理，得AM•AM=AC'•AB，AP•AP=AC•AB'（相似RT三角形），又B、C、B'、C'四点共圆，由切割线定理（从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项），AC'•AB=AC•AB'，
∴AM=AP，又AM=AN，AP=AQ（垂直于直径的弦性质），
∴AM=AP=AN=AQ，M、N、P、Q是共圆心为A的圆．
须证MK•KN=PK•KQ，即证（MC′-KC′）（MC′+KC′）=（PB′-KB′）•（PB′+KB′）                                                                                                                                 

即MC′2-KC′2=PB′2-KB′2．①
∵AP=AM（所对弧长相等），从而有AB′2+PB′2=AC′2+MC′2．
故MC′2-PB′2=AB′2-AC′2=（AK2-KB′2）-（AK2-KC′2）=KC′2-KB′2．②

由②即得①，命题得证。                                    

2.证明：连接AC和BD．
∵弦CD垂直于直径AB，
∴BC=BD．∴∠BCD=∠BDC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC．
∵∠BDC=∠OAC，∴∠BCD=∠OCA．∴△BCD∽△OCA．∴CB/CO=CD/CA    

在△CDN和△CAM中，∵∠DCN=∠ACM，∠CDN=∠CAM，∴△CDN∽△CAM．
∵CNCM=CD/CA=CB/CO=CB/2CM，

∴CN=1/2CB，即BN=CN．

3.（1991，江苏省初中竞赛）

证明：连接NP，NQ，NR，NR的延长线交⊙O于Q′．连接MQ′，SQ′，
易证N，M，R，P四点共圆，
∴∠SNQ′=∠MNR=∠MPR=∠SPQ=∠SNQ．
根据圆的轴对称性质可知Q与Q′关于NS成轴对称，∴MQ′=MQ．
又易证M，S，Q′，R四点共圆，
且RS是这个圆的直径（∠RMS=90°），MQ′是一条弦（∠MSQ′＜90°），
∴RS＞MQ′．又MQ=MQ′，∴RS＞MQ．

（这些有点难度呀，现在初中生也不容易呀）

Answer 4

有图吗？ 有图就给你做

追问

没图，有图我也会做

追答

加
400分给你作

追问

上限了，这个不是问题

追答

• 加

400分给你作      你几年级？？    有意+626286178

追问

十

追答

怎么给你给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆.
分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM.
欲证M，N，P，Q四点共圆，须证
MK•KN＝PK•KQ，
即证(MC′-KC′)(MC′+KC′)
＝(PB′-KB′)•(PB′+KB′)
或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2 . ①
不难证明 AP=AM，从而有
AB′2+PB′2=AC′2+MC′2.
故 MC′2-PB′2=AB′2-AC′2
=(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2)
=KC′2-KB′2. ②
由②即得①，命题得证.
例2．A、B、C三点共线，O点在直线外，
O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC，
△OCA的外心.求证：O，O1，O2，
O3四点共圆.
分析：作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.观察△OBC及其外接圆，立得∠OO2O1= ∠OO2B=∠OCB.观察△OCA及其外接圆，立得∠OO3O1= ∠OO3A=∠OCA.
由∠OO2O1=∠OO3O1 O，O1，O2，O3共圆.
利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证.