Question

已知函数f(x)=1/2x²-(a²+a)lnx-x （1）若a=1,求曲线y=f（x)在点（1，f（1））出的切线方程

（2）讨论f（x)的单调性
主要是第二问

Answer 1

（1）
a=1时，
f(x)=1/2x²-2lnx-x
f'(x)=x-2/x-1
f(1)=-1/2切点(1,-1/2)

切线斜率k=f'(1)=-2
切线方程：y+1/2=-2(x-1)
即4x+2y-3=0
(2)
f'(x)=x-(a²+a)/x-1
=[x²-x-(a²+a)]/x
=(x+a)[x-(a+1)]/x

当-a=a+1,即a=-1/2时，
f'(x)=(x+1/2)²/x>0恒成立
f(x)在(0,+∞)上为增函数

当-1<a<-1/2时
0< a+1<1/2,1/2< -a<1
f(x)在(0,a+1), (-a,+∞)上为增函数
在(a+1,-a)上为减函数

当a≤-1时，a+1≤0,-a≥1
f(x)在(0,-a)上是减函数，在(-a,+∞)上是增函数

当 -1/2<a<0时，0<-a<1/2,1/2<a+1<1
f(x)在(0,-a), (a+,+∞)上为增函数
在(-a,a+1)上为减函数
当a≥0时，-a≤0,a+1≥1
f(x)在(0,a+1)上是减函数，在(a+1,+∞)上是增函数

Answer 2

1. f'(x)=x-(a²+a)/x-1

   a=1,f'(x)=x-2/x-1

   f(1)=-1/2,f'(1)=-2

   y=-2x+3/2

2. f'(x)=(x²-x-a²-a)/x=(x-a-1)(x+a)/x  (x>0)

   a≤-1  f(x)在（0，-a）上递减，(-a,+∞）递增

   -1<a<-1/2,f(x)在（0,a+1），（-a，+∞）递增，（a+1,-a)递减

   a=-1/2,f(x)在（0，﹢∞）递增

   -1/2<a<0,f(x)在（0,-a），（a+1，+∞）递增，（-a,a+1)递减

   a≥0，f(x)在（0，a+1）上递减，(a+1,+∞）递增

Answer 3

求导 得 F(X)~=x-（a方+a）/x-1 a=1 得f （1）~=-2=k （斜率 ）
在带F（1）=-1/2 点斜式带进去可得 y=-2x+3/2
（2） 首先定义域 （0，+无穷） 另h（x)= a方+a 属于 -1/4到正无穷
讨论当 1. h(x)为-1/4到0时 即a属于-1到0时 其最小值根据均值得 最小值为 根号（-a方-a）-1
在讨论其他 h（x）为0到无穷时...
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