Question

若函数f(x)=|4x-x^2|-a的零点个数为3，则a=________________

Answer 1

解：
令|4x-x²|-a=0
|x^2-4x|=a
等式左边为绝对值项，右边a≥0，又a=0时，x=0或x=4，只有两个解，舍去，因此a>0
去绝对值号：
x^2-4x=a或x^2-4x=-a
x^2-4x-a=0或x^2-4x+a=0
形成两个一元二次方程，若两方程共有3个解，则必有一方程判别式>0，另一个方程判别式=0
若x^2-4x-a=0判别式=0
16+4a=0 a=-4<0，舍去。
若x^2-4x+a=0判别式=0
16-4a=0 a=4代入第一个方程，判别式>0，满足题意。

a=4

Answer 2

f(x)=x^2-4x-a 或者
f(x)=-x^2+4x-a
都为一元二次函数，要为3个零点，则一个Δ>0，一个Δ=0.
∵函数有零点，∴a≥0
∴Δ1=16+4a
Δ2=16-4a
∵Δ1>Δ2
∴Δ2=16-4a=0时，即a=4时，函数有3个零点。

Answer 3

|x²-4x|=a零点个数为3
图像法。|x²-4x|的图像，就是x²-4x在x轴下方部分翻折。原来顶点（2，-4），翻折后（2,4）
∴零点个数为3时，a=4