Question

已知函数f(x)=(ax^2 +1)/bx+c(a,c∈R,b∈N,a＞0,b＞0)是奇函数，在区间(0,+∞)上,函数有最小值2,且f(1＜5

已知函数f(x)=(ax^2 +1)/bx+c(a,c∈R,b∈N,a＞0,b＞0)是奇函数，在区间(0,+∞)上,函数有最小值2,且f(1＜5/2).
(1)求f(x)的解析式.
(2)函数f(x)图像上是否存在两点关于(1,0)对称？若存在,求这些点的坐标；若不存在，说理由！

Answer 1

第一问：
f(-x)=(ax²+1)/(-bx+c)=-f(x)=-(ax²+1)/(bx+c)
解得c＝0
所以f(x)=ax/b+1/(bx)
当x>0, a>0,b>0时
f(x)≥2√(ax/b*1/bx)=2√(a/b²)
即f(x)最小=2√(a/b²)=2
所以a=b² (1)
由已知f(1)=a/b+1/b=(a+1)/b<5/2
即a<5b/2-1 (1)代入
b²<5b/2-1
(b-1/2)(b-2)<0
解得1/2<b<2
因b∈N，所以b=1
则a=1
所以f(x)=x+1/x
第二问：
若存在关于点（1，0）对称的两点
设为(x1, y1), (x2, y2)
则x1+x2=2 (2)
y1+y1=0 (3)
由y1=x1+1/x1 y2=x2+1/x2
得y1+y2=x1+x2+(x1+x2)/x1*x2
即0=2+2/(x1*x2)
x1*x2=-1 (4)
(2)(4)联立解得x1=1+√2 x2=1-√2
则y1=1+√2+1/(1+√2)=2√2
y2=1-√2+1/(1-√2)=-2√2
故所求两点为(1+√2, 2√2)和(1-√2, -2√2)
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