Question

请教数学高手 可积与原函数存在的条件一样吗？

原函数存在的条件是什么呢？

Answer 1

原函数存在定理：如果函数f(x)在区间 I 上连续，那么在区间 I 上存在可导函数F(x)，使对任一 x 属于 I 都有 F ’ （x）=f(x). 即：连续函数一定有原函数。（同济5版上册 page 182)函数可积的两个充分条件： 定理1 设 f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积； 定理2 设 f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则，f(x)在区间[a,b]上可积。(page226)定积分是利用无限分割的极限思想定义的，对于积分区间[a,b]上连续，则函数f(x)一定可积（或存在的有限个间断点可以看作对定义分的结果无影响.此时f(x)在区间[a,b]上仍然可积。） 而，若函数f(x)在区间[a,b]上不连续（存在间断点），则不能由原函数存在定理直接判断f(x)的原函数是否存在。此时需根据间断点的类型判断：若间断点为第一类（可去）间段点（或第二类间断点)，可以通过补充定义使得f(x)在区间[a,b]上连续，则可通过原函数存在定理判断原函数存在性； 若间断点为第一类（跳跃）间断点 易知不能通过补充定义使得f(x)在区间[a,b]上连续，则一定不存在原函数。 综合得若函数f(x)在区间[a,b]上连续则函数f(x)一定可积且原函数存在； 若函数f(x)在区间[a,b]上存在有限个间断点则函数f(x)一定可积，而原函数的存在性需要通过判断间断点的连续性来得出原函数是否存在。噢 写了那么多，今天我也刚刚复习到这个知识点，开始也比较混淆，现在归纳下影象深刻多了 发来和大家分享 希望有所帮助。

Answer 2

只要存在跳跃间断点，则此函数必不存在原函数

Answer 3

回复 11911778 的帖子李永乐全书上谈到的是第一类间断点原函数不存在，第二类则不一定，我自己推出，确实跳跃间断点和第二类间断点不存在，可去间断点则不能确定。

Answer 4

单调性是通过导函数定义的，而可导必连续