Question

高中物理竞赛-简谐运动-简单振动，急求，不胜感激。

水面上有一个长为L，密度为p，截面均匀的均质木棒，现用手持棒，使棒下端与睡水面接触，放手后，木棒竖直下沉，不计阻力，试求当p=2/3p水时，棒下沉到最后位置所需时间

Answer 1

分析：木棒释放后是做简谐运动（满足特征式：F回＝－K*X），先证明此结果。
　　由题意知，木棒的重力是　G＝mg＝ρLSg，S是木棒的横截面积。
由于木棒的密度一般是小于水的密度，那么木棒不振动时（静止、漂浮状态）的位置就是其平衡位置，设此时浸入水中的部分长度是 X0，则有
　　ρLSg＝ρ水*g*S*X0　（此时重力等于浮力）
得　X0＝ρL / ρ水＝2L / 3　　（题已知　ρ＝2 ρ水 / 3）
　　设想从平衡位置处再向下压木棒进入水中，使浸入水中的长度是（X0＋X），则 X 就是相对平衡位置的“位移”，这个“位移”的方向是竖直向下，放手后木棒就在其平衡位置附近振动。
　　刚放手时，木棒受到重力 mg（竖直向下），浮力 F （竖直向上，这时F＞mg），那么回复力（合力）的方向就是竖直向上。
　　显然，回复力的方向与“位移”的方向相反，只要再证明它们的大小是成正比关系，则说明木棒是做简谐运动的。
　　回复力的大小是　F回＝F合＝F－mg＝ρ水*S*（X0＋X）g－ρLSg＝ρ水*S*g* X
可见，在 ρ水、S、g 为常量的情况下，回复力的大小与位移的大小是成正比的。
　　回复系数是　K＝ρ水*S*g　，从木棒下端与水面接触处释放，到它下降到最低位置所用的时间等于振动周期 T 的一半，所以所求的时间是
t＝T / 2＝π * 根号（m / K）＝π*根号[ ρLS / (ρ水*S*g) ]＝π*根号[ ρL / (ρ水*g) ]＝π*根号[ 2L / (3g) ]