Question

已知函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b（x∈R）,其中a、b∈R

(1)当a=-10/3时，讨论函数f(x)的单调性（2）若函数f(x)仅在x=0处有极值，求a的取值范围。

Answer 1

（1）当a=-10/3时，f(x)=x^4-10/3x^3+2x^2+b，然后对其求导得f'(x)=4x^3-10x^2+4x令f'(x)=0,即4x^3-10x^2+4x=0，x(x-2)(2x-1)=0,得到三个驻点 x=0，2，1/2这三个驻点将定义域分为四个区间(-∞，0）、（0，1/2）、（1/2，2）、（2，+∞）列表判断导数的符号，确定单调性 x (-∞,0）) 0 (0, 1/2) 1/2 (1/2,2) 2 (2,+∞） y' .....-......... 0.... +..... 0....... -...... 0.... ... +y单调性 单调递减 单调递增 单调递减 单调递增（2）f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b，f'(x)=4x^3+3ax^2+4x令f'(x)=0,即4x^3+3ax^2+4x=0，x(4x^2+3ax+4)=0,由条件可知x=0,但4x^2+3ax+4不等于0,即判别式△=9a^2-64<0,解得-8/3<a<8/3所以a的取值范围是-8/3<a<8/3

Answer 2

由原式得f'(x)=4x^3+10x^2+4x =x(4x+2)(x+2)令f'(x)=0 x=0或x=-2或x=-1/2 则有 x (-无穷,-2) -2 (-2,-1/2) -1/2 (-1/2,0) 0 (0,+无穷) y' - 0 + 0 - 0 + y 单调递减 单调递增 单调递减 单调递增