Question

已知不等式x²-(a+1)x+a＜0,①若不等式在（1,3）上有解，求实数a的取值范围.

②若不等式在（1,3）上恒成立,则实数a的取值范围是

Answer 1

抛物线开口向上,△=(a-1)^2>=0恒成立,又知f(1)=0,存在x∈(1,3)使得f(x)<0,只要方程另一根大于1即可,x1=1又x1x2=a,所以x2=a,a>1

Answer 2

解：
x²-(a+1)x+a＜0
x²-2×[(a+1)/2]x+[(a+1)/2]²-[(a+1)/2]²+a＜0
[x-(a+1)/2]²＜[(a+1)/2]²-a
[x-(a+1)/2]²＜{[(a+1)]²-4a}/4
[x-(a+1)/2]²＜(a²-2a+1)/4
[x-(a+1)/2]²＜[(a-1)/2]²
(1-a)/2＜x-(a+1)/2＜(a-1)/2
(1-a)/2+(a+1)/2＜x＜(a-1)/2+(a+1)/2
1＜x＜a
即：x∈(1，a)
已知：不等式在(1，3)上有解，
所以：(1，a)∈(1，3)
故：a∈(1，3)

因为：不等式在(1，3)恒成立
所以：(1，a)=(1，3)
故：a=3

追问

但是答案是（1，+∞）啊。是答案错了还是什么？而且下一个题是若不等式在（1,3）上恒成立，则实数a的取值范围是[3，+∞）。这是为什么？还请仁兄多多指点啊！！

Answer 3

这个因式分解为（x-a）（x-1）＜0 若a＞1则解集为1＜x＜a a＜0时显然不成立 故（1,3）为（1，a）的子集故a大于等于3