Question

如果圆x^2+y^2-4x-4y-10=0上至少有三点到直线ax+by=0距离为 2根号2 求直线斜率的取值范围

如果圆x^2+y^2-4x-4y-10=0上至少有三点到直线ax+by=0距离为 2倍根号2 求直线斜率的取值范围

Answer 1

(x-2)�0�5+(y-2)�0�5=18,圆心P(2,2),半径3√2圆上至少有三点到直线距离为2√2, ∴圆心P到直线距离最大为3√2-2√2=√2∴ax+by=0有一点在以P为圆心半径为√2的内部或在圆上(就是土黄色部分)∴ax+by=0在两条蓝色切线的之间,只要求出切线斜率即可ax+by=0过原点,且OP=2√2是P到切线距离的2倍, 切线与直线OP夹角为π/6直线OP为y=x,倾斜角为π/4∴切线倾斜角为π/4+π/6=5π/12或π/4-π/6=π/12∴直线的倾角范围为[π/12,5π/12]

Answer 2

若圆x^2+y^2-4x-4y-10=0上至少有3个不同的点到直线l:ax+by=o 的距离为2√2 求直线l的倾斜角取值范围。
解析：
将圆方程配方化为圆心式：
(x-2)^2+(y-2)^2=18, 圆心为(2,2)设为点P，半径为3√2
直线ax+by=0，可变形为y=-a/b*x为一条过原点O的直线
画图，易见因为原点O在圆的内部，所以直线与圆相交，设两个交点为A、B。
圆上至少有3个不同的点到直线的距离为2√2，过P做AB的垂线交AB于C，交AB对应劣弧于D，即要求CD≥2√2，
易得OP的倾角为π/4
先讨论l倾角大于π/4的情况，此时弦AB位于P左侧，
当CD=2√2时，PC=PD-CD=3√2-2√2=√2
OP为定值2√2，所以sin∠COP=PC/OP=1/2,所以∠COP=π/6
此时l的倾角为π/4+π/6=5π/12
同理，当l倾角小于π/4，CD=2√2时，l的倾角为π/4-π/6=π/12
所以直线l的倾角范围为[π/12,5π/12]