Question

如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易得CD=BE，AM=AN．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，AM=AN是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，则说明理由； （2）在图2中，你能求出BE与CD所夹的锐角的度数吗？请说明理由．

Answer 1

1、证明：
∵等边△ABC、等边△ADE
∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝60
∵∠BAE＝∠BAC-∠CAE，∠CAD＝∠DAE-∠CAE
∴△ABE≌△ACD （SAS）
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD
∵M是BE的中点，N是CD的中点
∴BM＝BE/2,CN＝CD/2
∴△ABM≌△ACN （SAS）
∴AM＝AN
2、解：延长BE交CD于P
∵∠ABE＝∠ACD
∴∠BPD＝∠BCD+∠CBE
＝∠ACB+∠ACD+∠CBE
＝∠ACB+∠ABE+∠CBE
＝∠ACB+∠ABC
＝120
∴∠BPC＝180-∠BPD＝60
∴BE与CD所夹锐角为60°

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Answer 2

∵△ADE是正三角形
∴AD=AE，∠DAE=60度
∵△ABC是正三角形
∴AC=AB，∠CAB=60度
∴△ADC与△AEB世全等三角形
∴∠ADC=∠AEB，DC=EB
∵M,N分别为EB，CD的中点
∴DN=1/2*DC=1/2*EB=EM
∵∠ADN=∠AEM，AD=AE
∴△ADN与△AEM是全等三角形
∴AN=AM