Question

已知函数f(x)=x|x-a|+2x-3

1.当a=4,2<=x<=5,求函数f(x)的最大值与最小值
2.若x>=a,试求f(x)+3>0的解集
3.当1<=x<=2时，f(x)<=2x-2恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=x|x-4|+2x-3
2<=x<4时,f(x)=x(4-x)+2x-3=-x^2+6x-3=-(x-3)^2+6 最小值为f(2)=5 最大值为f(3)=6
4<=x<=5时,f(x)=x(x-4)+2x-3=x^2-2x-3=(x-1)^2-4 最小值为f(4)=5 最大值为f(5)=12
综合得，a=4时f(x)的最大值为f(5)=12,最小值为f(2)=f(4)=5

f(x)=x(x-a)+2x-3=x^2+(2-a)x-3
f(x)+3>0 ==> x^2+(2-a)x>0 ==> x(x+2-a)>0
若a>2 解为x<0(舍去)或x>a-2
若a=2 解为x>=2
若0<a<2 解为x>=a
若a<=0 解为x>0

x|x-a|+2x-3<=2x-2恒成立，等价于
x|x-a|<=1
-1/x<=a-x<=1/x
x-1/x<=a<=x+1/x恒成立
当1<=x<=2时 x-1/x<=2-1/2=3/2为左边最大值 x+1/x>=1+1/1=2为右边最小值
所以3/2<=a<=2

Answer 2

分类讨论
f x在R上是增函数，则f x在x>a和x<a时都是增函数
x>a时，f x = x平方 - （a - 2）x - 3
对称轴 x = （a - 2）/ 2
要使其在x>a时递增，则对称轴应该在x = a的左侧，即（a - 2）/ 2 < a
解出a > -2
x<a时，f x = -x平方 （a 2）x - 3
对称轴 x = (a 2) / 2
要使其在x<a时递增，对称轴应该在x = a的右侧，即(a 2) / 2 > a
解出a < 2
故 -2 < a < 2
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