Question

已知数列An满足An+1=2An+n+1(n=1,2,3.....)

Answer 1

(I) a(n+1)=2an+n+1若是等差数列则
a1+nd=2(a1+(n-1)d)+n+1 整理后得
a1+1-2d+(d+1)n=0
对任意n成立，则有
a1+1-2d=0
d+1=0
解得 a1=-3，d=-1
（II）假设数列{an}是等比数列，由已知a(n+1)=2an+n+1得
q*an=2an+n+1
(q-2)an=n+1
当q=2时，上式不成立；
当q≠2时，
an=(n+1)/(q-2)则
a(n+1)=(n+2)/(q-2)
a(n+1)/an=(n+2)/(n+1) 不等于常数q，与假设矛盾
故数列{an}不可能是等比数列。
（III）
由已知a(n+1)=2an+n+1得
a(n+1)+(n+1)+2=2(an+n+2)=(a(n-1)+2)*2^2=...=(a1+3)*2^n
an+n+2=(a1+3)*2^(n-1)
则an=(a1+3)*2^(n-1)-n-2, n为自然数
如a1=-1，则an通项公式
an=2^n-n-2
前n项和为
Sn=(2+4+8+...+2^n)-(1+2+3+...+n)-2n=2^(n+1)-n(n+5)/2-2

Answer 2

（1）a(n+1)=2an+n+1(n=1,2,3,,,,,,) ……（1）
若{an}是等差数列
an=2a(n-1)+n…………（2)
(1)-(2)有
d=2d+1===>>d=-1
又a2=2a1+2
a1+d=2a1+2===>>a1=-3
（2）设等比为q，
则a（n+1）=an*q
带入已知，得an*q=2an+n+1
即an=（n+1）/（q-2）
那么a(n+1)/an=(2n+3)/(q-2) 不是常数，所以不能设等比数列
(3)∵an+1＝2an＋n＋2 ∴an+1＋(n＋1)＋2＝2(an＋n＋2)
∴﹛(an＋n＋2)﹜是首相为a1＋1＋2＝2，公比为2的等比数列
∴an＋n＋2＝2×2^(n－1)＝2^n ∴an＝2^n＋n＋2
∴S＝(2¹＋2²＋……＋2^n)＋(1＋2＋3＋……＋n)＋2n
＝2(2^n－1)＋n(n＋1)/2＋2n
望采纳