Question

求下列函数值域:(1)y=(sin2xsinx)/(1-cosx);(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;(3)y=2cos(π/3+x)+2cosx.

Answer 1

1)y=(sin2xsinx)/(1-cosx)=2cosxsin^2x/(1-cosx)=2cosx(1+cosx)
=2(cosx+cos^2x) =2(cosx +0.5)^2-0.5 (cosx不等于1)
-0.5=<y<2(1+0.5)^2-0.5=4
值域是[-0.5,4) 2)y=sinx+cosx+sinxcosx
令sinx+cosx=T，(1)
由同角三角函数关系sinxcosx=[（sinx+cosx)^2-(sinx^2+cosx^2)]/2
把(1)式代入，得sinxcosx=（T^2-1)/2
所以y=T+（T^2-1)/2
整理得，y=1/2（T+1）^2-1
而sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
所以y在T[∈-√2,√2]时，不单调
当T=-1时，y取得最小值 = -1
当T=√2时，y取得最大值 = 1/2+√2
值域[-1,1/2+√2 ] 3)y=2cos(π/3+x)+2cosx
=4sin(x+π/6)cosπ/6
=2√3sin(x+π/6)
值域[-2√3,2√3]

Answer 2

(1)y=(sin2xsinx)/(1-cosx)=2cosxsin^2x/(1-cosx)=2cosx(1+cosx)
=2(cosx+cos^2x) =2(cosx +0.5)^2-0.5
-1/2≤cosx+1/2≤3/2
0≤(cosx+1/2)^2≤9/4
所以y属于[-1/2，4]
（2）因为(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx
sinxcosx=[(sinx+cosx)^2-1]/2
令sinx+cosx=t t=√2sin(x+π/4) -√2≤t≤√2
y=sinxcosx+sinx+cosx
=(t^2-1)/2+t
=t^2/2+t-1/2
=1/2(t+1)^2-1
对称轴t=-1
y在[-√2,-1]上单调递减
在[-1,√2]上单调递增
t=-1 最小值y=-1
t=√2 最大值y=(1+2√2)/2
所以函数y=sinxcosx+sinx+cosx 的值域[-1,(1+2√2)/2] （3）∵y=2cos(π/3+ x) +2cosx=2cosπ/3cosx-2sinπ/3sinx +2cosx=3cosx-√3sinx=2√3cos（x+ π/3）。
∵-1≤cos（x+ π/3）≤1∴-2√3≤2√3cos（x+ π/3）≤2√3

Answer 3

:(1)y=(sin2xsinx)/(1-cosx)=2(sinx)^2*(cosx)/(1-cosx)=2[1-(cosx)^2]*(cosx)/(1-cosx)=2(1-cosx)(1+cosx)cosx/(1-cosx)=2(1+cosx)cosx=2[(cosx)^2+cosx]=2[(cosx)^2+cosx+1/4]-1/2=2(cosx+1/2)^2-1/2因1-cosx≠0,故-1≤cosx＜1当cosx=-1,y最小值为0当cosx=1, 2(cosx+1/2)^2-1/2=4所以值域y属于[0,4)(2)y=sinx+cosx+sinxcosx=sinx+cosx+1/2[(sinx)^2+2sinxcosx+(cosx)^2]-1/2=sinx+cosx+1/2(sinx+cosx)^2-1/2=1/2(sinx+cosx+1)^2-1=1/2[（根号2）sin(x+45°）+1]^2-1当sin(x+45°）=1时，y最大值=1/2[(根号2）+1]^2-1=（1/2）+根号2当sin(x+45°）=-1时y最小值=(1/2)-根号2所以值域y属于[(1/2)-根号2,（1/2）+根号2](3)y=2cos(π/3+x)+2cosx=cosx-(根号3)sinx+2cosx=3cosx-(根号3)sinx=（根号12）*[3/(根号12）cosx-(根号3)/（根号12）sinx]=(2根号3）*cos(a+x) [令cosa=3/(根号12),sina=(根号3)/（根号12)]因-1≤cos(a+x) ≤1所以值域y属于[-2根号3,2根号3]