Question

如图,等边△ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD边上的动点,E是AC边上一点, 若AE=2,当EF+CF取得最小值时

如图,等边△ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD边上的动点,E是AC边上一点,若AE=2,当EF+CF取得最小值时,则∠ECF的度数为

Answer 1

分析：过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．

解：
过E作EM∥BC，交AD于N，

∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF

∠ACB=30°，
故选C．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．

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Answer 2

解：∵AE=2，AC=4
∴E是AC的中点
∴BE是AC上的中线

又∵AD是BC边上的中线
△ABC是等边三角形
∴B、C关于AD对称
∴BF=CF

∴EF+CF取最小值时，

EF+CF=BE
∴BF=2EF
∴CF=2EF
∴∠ECF=30°