Question

等边三角形ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC上一点,若AE=2,则EM+CM最小值为？

Answer 1

连接BM,,AD是BC的垂直平分线，无论M在AD的哪一个位置，线段CM的长度永远等于线段BM的长度所以要求EM+CM，即要求出EM+BM,链接BE，在三角形MBE中，BE＜EM+BM，所以当M,B,E三点在一直线上EM+BM最短，即BE的长度AE=2,AB=6,∠BAE=60，所以根据余弦定理BE∧2=AB∧2+AE∧2-2ABAEcos60=36+4-2×6×2×1/2=28所以BE=2√7即EM+CM最小值为2√7

Answer 2

这道题和最短路线问题是一样的，我级不够不能传图只能用文字表达了：
先画出一个等边三角形，ABC，然后在BC上取中点D，连接AD，此为中线，因为ABC是等边三角形，所以AD是BC的垂线，也是角A的角平分线。而且EA已知，E还在AC上，所以E就是定点，刚才说了AD是BC的垂直平分线，所以（到重点了）无论M在AD的哪一个位置，线段CM的长度永远等于线段BM的长度，（这是垂直平分线定理），所以，线段CM的长度+线段EM的长度=线段BM的长度+线段EM的长度，（此时B和E在AD两侧）有两点之间线段最短可知，连接BE，BE交AD于M，BE就是BM+EM的最小值，也就是EM+CM的最小值。这时候你可以吧M标出来了，此时可知AB=6，AE=2，BE=？，过E作AB的垂线，交AB于F，可以知道三角形AEF是三个角分别为60°、30°、90°的直角三角形，AF：AE：EF=1:2：√3 从而求出AF=1，EF=√3,因为F在AB上所以BF=AB-AF=5，然而三角形BFE也是直角三角形，有勾股定理可得BE的平方=EF的平方+BF的平方=25+3=28，所以BE=√28，所以EM+CM的最小值为√28

Answer 3

2倍的根号7

Answer 4

2根号7