Question

已知函数f(x)=x^3-ax^2-3x (请求详解)已知函数f(x)=x^3-ax^2-3x. (

已知函数f(x)=x^3-ax^2-3x
(请求详解)已知函数f(x)=x^3-ax^2-3x.
(1) 若f(x) 在区间 [1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围
（2）若x=-1/3是f(x)的极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)=bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由

Answer 1

(1) 若f(x) 在区间 [1，+∞)上是增函数，
则f‘(x)=3x²-2ax-3≥0，即2a≤3(x-1/x)=h(x)对x∈[1，+∞)恒成立，
易知h(x)在[1，+∞)上递增(也可用导数证明)，
所以2a≤h(x)min=h(1)=0，故a≤0。
（2）若x= -1/3是f(x)的极值点，则f(-1/3)=0，解得a=4，
于是f‘(x)=3x²-8x-3=(x-3)(3x+1)，x∈[1，4]，
可知f(x)在[1，3]上递增，在[3，4]上递减，
所以，在[1，4]上，f(x)max=f(3)= -18。
（3）由条件，F(x)=f(x)-g(x)=x³-4x²-3x-bx=x(x²-4x-3-b)=0有三个不同的实数解，
即x²-4x-3-b=0有两个不同的非零实数解，
所以△=16+4(3+b)>0，且3+b≠0，即b>-7且b≠ -3。
故在（2）的条件下，存在实数b，使得函数g(x)=bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点，并且实数b的取值范围是b>-7且b≠ -3。

Answer 2