Question

如图，三角形abc是直角三角形，ac长8厘米，bc长4厘米，以ac，bc分别为直径画半圆，两个半圆的交点d在ab边

如图，三角形abc是直角三角形，ac长8厘米，bc长4厘米，以ac，bc分别为直径画半圆，两个半圆的交点d在ab边上，求阴影部分面积

Answer 1

连接CD，CD⊥AB。　（半圆上的圆周角等于90°）

以AC为直径的半圆面积Sa＝（AC／2）＾2×（π/2）＝8π

以BC为直径的半圆面积Sb＝（BC／2）＾2×（π/2）＝2π

∵AB＝√（AC＾2＋BC＾2）＝4√5

　CD×AB／2＝AC×BC／2

∴CD＝32／（4√5）＝8／（√5）

　AD＝√（AC＾2－CD＾2）＝16／（√5）

　BD＝AB－AD＝4√5－[16／（√5）]＝4／（√5）

△   ACD的面积Sc＝AD×CD/2＝64／5

△   BCD的面积Sd＝BD×CD/2＝16／5

阴影面积1+3＝以AC为直径的半圆面积－△   ACD的面积＝Sa－Sc

阴影面积2+4＝以BC为直径的半圆面积－△   BCD的面积＝Sb－Sd

总阴影面积＝（Sa－Sc）＋（Sb－Sd）＝10π－16

注：阴影面积由四部分组成见图。

Answer 2

如图，连结CD，
S4+S2=S半圆AC-S△ACD，
S1+S3=S半圆BC-S△BCD，
∴S阴影=S半圆AC-S△ACD+S半圆BC-S△BCD
=S半圆AC+S半圆BC-S△ABC
=2π+π/2-4
=5π/2-1