Question

求救：关于概率的问题

让我选择开三个门，其中一个门后边是一辆车 ，另外两个门后边都是羊，我第一个选的是1号门，老师开启了三号门，门后边是羊，我原来选对车的概率是33.3%，老师开启了三号门之后，如果我依然选一号门，我选到车的几率是多少？如果我现在改选2号门，选到车的几率是多少？
你到底会不会改选答案？
我知道答案，但我计算不出来？希望大哥帮忙。谢谢

Answer 1

这个问题可称之为“选择的转换”：你出现在一个游戏节目里，主持人指出标有l、2、3
的三道门给你，而且明确告诉你，其中两扇门背后是山羊，另一扇门后则有名牌轿车，你
要从三个门里选择一个，并可以获得所选门后的奖品。当然你希望自己选中的是汽车而非
山羊。既然是三选一，很清楚，你选中汽车的机会就是1／3。
　　在没有任何信息帮助的情况下，你选了一个(比如1号门)，这没有什么对与不对，完全
是运气问题。但主持人并没有立刻打开1号门，而是打开了3号，门后出现的是一只羊。然
后主持人问你：是否要改变主意选2号门？现在这就是个决策问题了：改还是不改。想一想
吧！

　　赛氏的想法大致如下：如果你选了l号门，你就有1／3的机会获得一辆轿车，但也有
2／3的机会，车子是在另外两扇门后。接着好心的主持人让你确定车子确实不在3号门后，
不过l号门有车子的几率还是维持不变，而2号门后有车子的几率变成2／3。实际上，3号门
的几率转移到了2号门上，所以你当然应该改选。

　　跟莫斯得勒的读者对囚犯问题的热烈反应一样，赛凡特的游戏也引来数以千计的读者
来信，读者多半是认为她的推论是错的，主张1、2号门应该有相同的几率，采用的也多半
是囚犯的算法，因为你已经把选择变成2选1，也不知道哪扇门背后有车，因此几率应该跟
丢掷铜板一样。有趣的是，赛凡特又提供一项有用的资讯：一般大众的来信里，有90%认
为她是错的，而从大学寄来的信里，只有60%反对她的意见，在后续的发展里，一些统计博
士加入自己的意见与信念，且多半认为几率应该是1／2。赛凡特显然很惊讶这个问题所引
发的热潮及反对声浪，不过她仍坚持己见。

　　统计学家从过去到今天都一直在寻求上述问题的答案，其实再简单不过，每个人都可
以理解，也可以亲自验证，在此可以来模拟一下：用3张盖起来的牌当作门，一张A，两张
鬼牌，分别当作车子和山羊，连玩个十几次看看。很快就可以发现换牌是比较有利的，就
和赛凡特说的一样。
那为什么这些专家还争吵不休，究竟在3号门出现山羊后，l、2号门的几率变成相等又有什
么问题？或者是不是所有游戏者都有某些未言明的假设，即使用扑克牌模拟也是如此？

　　我对，你也对

　　令人惊奇的是，尽管双方结论完全相反，却都是对的，这也有个小故事。所罗门王有
则趣事，两位邻人在国王面前争论，每一位述说完毕，国王就说：“你对！”刚好一位路
过的律师听到了，就质问国王：“怎么可能两个人都对？”于是国王回答：“嗯，你说得
也对！”

　　在上述的谜题里确实藏有一个未知资讯，所有的参与者，包括赛凡特，都对该资讯做
了不自觉的假设，多数人甚至不知道有这个未知资讯，由于两派都认为自己的假设清楚明
白，因此应该都没有意识它们只是假设而已。

　　现在也谈够谜题了，该来看看到底出了什么问题？究竟游戏者该不该换？任何决策问
题的最佳解决之道就是先厘清有哪些决策方案，现在所面对的是1、2、3号门后有一辆车，
游戏本身没有其他特殊限制，因此大可假设这是一个公平游戏，所以初始几率，一如前述
，每个门都是1／3，到目前为止都没问题。

　　现在游戏者，就是你，选了l号门，到这儿也没有什么问题，因为你一无所知，所以猜
对的几率是1／3。

　　好玩部分开始了，因为主持人打开了3号门，而没有人问他为什么要开3号门。这儿有
几种可能性，主持人的选择所传达的讯息跟你对主持人心里那把尺的了解有关，这一点到
目前还是未知。主持人可能只想玩玩票，只要游戏者选1号，他就一定开3号门，不管3号门
后是不是车，如果刚好出现羊，那运气不错；如果是车，那么游戏就告一段落，你就输了.
如果主持人真是这么想，那么3号门后不是车，对你来说确实是一项新资讯，这时车子出现
的可能就是l号或2号门其中之一，两者间没有特别偏好，主持人并没有给你换门的好理由
，也没有提供让你维持原案的原因。多数赛凡特的反对者都相信在这样的情形下，几率是
均等的，却全然不知他们已经对主持人的策略做了假设。甚至也根本不知道自己已经做了
假设，不过他们都很肯定自己是对的。

　　不过，如果主持人并没有玩票，而自有另一套规则，他心里知道绝不能打开有车子的
那扇门，因为这会破坏游戏者作决策的悬疑气氛，提早结束游戏，使观众失去兴趣，服务
于娱乐事业的主持人，想吸引观众应该是很合理的猜测。因此，如果主持人的策略是绝对
不去开有车的那扇门，那么如果你一开始就选对了，他就可以随他高兴开2号门或3号门；
如果你一开始就选错了，那么他就会开没有车子的那扇门。因此无论如何，他开的那扇门
后一定是头山羊，所以不会有任何新信息。

　　因此不管车子在哪里，他的举动都不会影响最初的选择，也就是l号门的几率。如果车
子不在l号门后，那么他开的门等于是告诉你大奖的所在，因此有2／3的机会。所以第一次
选1号门就选错了，他等于已经告诉你应该选哪一扇门。如果这是主持人的策略，那赛凡特
就对的，有机会就赶快换，荣耀将属于你。虽然换选未必保证你一定会获胜，因为你仍有
l／3的概率在第一次选择时就选对了，不过换选还是把获胜机会加倍。

　　这种情况其实是因为两方对主持人心理所做的假设不同，因此双方都有可能是对的。
如果主持人开门是随机的，车子又不在他开启的那扇门的后面，那么几率就真的各有50%。
如果他早就决定好，在这个阶段，绝不去开有车的那扇门，那么他让你先看3号门后是什么
的同时，你就应该利用这项信息而换选。