Question

如果抛物线y=x2-(k-1)x-k-1与x轴交于A、B，与y轴交于C，那么△ABC面积的最小值是________。,

Answer 1

y=x2-(k-1)x-k-1 = [x-(k-1)/2]^2 - (k-1)^2/4 - k -1
所以， C的纵坐标为 - (k-1)^2/4 - k -1 = - (1/4)[k^2 + 2k + 5]
即三角形ABC的AB边上高为 (1/4)[k^2 + 2k + 5]。
A、B都在x轴上，AB边长为两点横坐标之差的绝对值。
而抛物线y=x2-(k-1)x-k-1与x轴交于A、B，所以A、B的横坐标满足方程：
x^2-(k-1)x-k-1=0
所以，(xA-xB)^2 = (xA+xB)^2 - 4 xAxB = (k-1)^2 + 4(k+1) = k^2 +2k +5
所以，AB边长为 (k^2 +2k +5)^(1/2)，三角形ABC的面积为 (1/8)[k^2 + 2k + 5]^(3/2)。
面积最小值当且仅当 k^2 + 2k + 5 = (k+1)^2 +4 取最小值，
所以，三角形ABC的面积最小值为 (1/8)*4^(3/2)=1 。
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