Question

初中数学题 求高人指点第三问（过程详细）

在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，且AD与CE交于点M．点N在射线AD上，且NA=NC．过点N作NF⊥CE于点G，且与AC交于点F，再过点F作FH∥CE，且与AB交于点H．
(1) 如图1，当∠BAC=60°时，点M，N，G重合．
①请根据题目要求在图1中补全图形；
②连结EF，HM，则EF与HM的数量关系是__________；
(2) 如图2，当∠BAC=120°时，求证：AF=EH；
(3)当∠BAC=36°时，我们称△ABC为“黄金三角形”，此时．若EH=4，
求出GM的长．

Answer 1

易知∠MNG=∠MCD=½∠ACB=½×72°=36°

连接NB，则NB=NC=NA，则∠DNB=∠ABN+∠BAN=2∠BAN=∠BAC=36°

得∠MNG=∠DNB，则知NGB三点一线。

因CG⊥FB、CG平分∠FCB，故G为FB的中点；又EG∥HF，得EBEH=4.

连接BM，∠BME=∠MBD+∠MCB=2∠MCB=72°；

又∠BEM=∠EAC+∠ECA=36°+36°=72°.

得∠BME=∠BEM，

已证BG⊥EM，

得：GM=EG=EB·sin∠EBG=4sin18°.

追问

题目未给出sin18°的值 答案是√5-1

追答

易知：AE=EC=BC、⊿ABC∽⊿CEB
则：BC/AB=EB/BC=(AB-AE)/BC=(AB-BC)/BC=(AB/BC)-1
两边同乘以BC/AB：(BC/AB)²=1-(BC/AB)
解得：BC/AB=(√5-1)/2
则：sin18°=BD/AB=½BC/AB=½×(√5-1)/2=(√5-1)/4

Answer 2

平时读书不努力