Question

高中数学 分段函数

已知函数f(x)=x+1/(4x)(x>0),-x²-4x-1(x≤0)则方程f(x)-a=0有四个实根的充要条件为？
对第一个函数不知道怎么画图～

Answer 1

解：
f(x)=x+1/(4x)≥2√[x*1/(4x)]=1,(x>0,当且仅当x=1/(4x)即x=1/2时，取“=”),即当x>0时，f(x)≥1,且
当a>1时，f(x)-a=0在（0，+∞）上有2个实根，
当a=1时，f(x)-a=0在（0，+∞）上有1个实根，
当a<1时，f(x)-a=0在（0，+∞）上没有实根；
f(x)=-x²-4x-1(x≤0),是开口向下，且对称轴为x=-2的抛物线x≤0部分，当x=-2时，f(x)=3，当x=0和x=-4时，f(x)=-1，且
当a=3时，f(x)-a=0在（-∞，0]上有2个重实根，
当-1≤a<3时，f(x)-a=0在（-∞，0]上有2个相异实根，
当a<-1时，f(x)-a=0在（-∞，0]上只有1个实根；
综上所述，方程f(x)-a=0有四个实根的充要条件为方程f(x)-a=0在（-∞，0]上有2个实根，且在（0，+∞）上有2个实根，满足条件的实数a的取值范围是1<a≤3。
备注：此题如你所想画图方法直观，当x>0时f(x)是双勾函数的右支，当x≤0时f(x)是抛物线的一部分。

Answer 2

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