Question

基本不等式的一系列公式及公式来源

Answer 1

你的意思是说出推出基本不等式的步骤吗

追问

嗯，谢谢你

追答

我发图

追问

嗯

追答

上图是一个正方形和四个全等直角三角形。

∵4个全等三角形面积为(a*b/2)*4=2ab

且中间还有一个小正方形

∴大正方形面积-4个全等三角形面积=小正方形（意思是：大正方形面积大于4个全等三角形）

又∵大正方形边长=根号（a²+b²）

∴大正方形面积=a²+b²

∴a²+b²≥2ab（由这个得来：大正方形面积大于4个全等三角形）

等号的由来是因为小正方形的面积可以为零，也就是说将大正方形的对角线连接后的四个全等直角三角形

，中间没有了小正方形，所以有等号

谢谢，希望采纳，不容易啊纯手打。

追问

嗯，辛苦啦，谢谢。不过我还想问问有没有其他有关不等式的公式，比如科西不等式（我忘了是什么不等式不过好像是这个）

追答

卡尔松不等式
琴生不等式
均值不等式
绝对值不等式
权方和不等式
赫尔德不等式
闵可夫斯基不等式
贝努利不等式
排序不等式
基本不等式
（至于不等式的公式有一点难找0

追问

那均值不等式和绝对值不等式是什么，可以告诉我吗？先谢了。

追答

均值不等式

(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab
(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)
(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
(6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab
(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^

绝对值不等式

我们知道
x，(x>0);
|x|={ x，(x=0);
-x，(x |a|-|b|≤|a+b|.......⑥
|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a| => |a|-|b|≥-|a+b|.......⑦
|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b| => |a|-|b|≤|a-b|.......⑧
|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a| => |a|-|b|≥-|a-b|.......⑨
由⑥，⑦得：
| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩ （当且仅当b(a+b)≤0时，等号成立）
由⑥，⑦得：
| |a|-|b| |≤|a-b|......⑪ （当且仅当b(a+b)≥0时，等号成立）
综合④⑤⑩⑪得到有关 绝对值(absolute value)的重要不等式
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：
|a+b|=|a|+|b|→ab≥0
|a-b|=|a|+|b|→ab≤0
|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0
|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0
注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0
同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥

追问

有劳了