Question

已知ab实不相等的正实数求证(ab²+b+a²)(ab+a²+b²)＞9a²b²

选修4-5不等式选讲,辽宁省大连市2013届高三模拟考试

Answer 1

解：证明
∵a、b是正实数，
∴a²b+a+b²≥3×三次更号下(a²b•a•b²)=3ab>0，
(当且仅当a²b=a=b²即a=b=1时，等号成立)
同理：ab²+a²+b≥3×三次更号下(ab²•a²•b)=3ab>0，
(当且仅当ab²=a2=b即a=b=1时，等号成立)
∴(a²b+a+b²)(ab²+a²+b)≥3ab×3ab=9a²b²，
(当且仅当a=b=1时，等号成立)
∵a≠b，
∴(a²b+a+b²)(ab²+a²+b)>9a²b².
证毕.
【根据所给的a、b是正数，把不等号的左边的两个因式，分别使用均值不等式，注意等号成立的条件，把所得的两个均值不等式相乘，整理成最简形式，就是不等式右边的部分，由a、b是不相等的正实数得到等号不能成立．】
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追问

证的很明白 可是结果怎么和我的题干不符啊我的题干里没有a²b这项啊也没有单独的a这项,这是哪来的?

追答

不好意思看错了。。。
改为：
。。。。。。。。
同理：ab+a²+b²≥3×三次更号下(ab•a²•b²)=3ab>0，

(当且仅当ab=a²=b²即a=b=1时，等号成立)
∴(a²b+a+b²)(ab+a²+b²)≥3ab×3ab=9a²b²，
(当且仅当a=b=1时，等号成立)
∵a≠b，
∴(a²b+a+b²)(ab+a²+b²)>9a²b².
证毕.