Question

求上、下分别为球面x^2+y^2+z^2=2和抛物面z=x^2+y^2所围成立 体 的体积

Answer 1

体积=∫∫D [√(2-x²-y²)-(x²＋y²)]dxdy

用极坐标去做即可。

球面x^2+y^2+z^2=2和抛物面z=x^2+y^2

z²＋z-2=0

(z+2)(z-1)=0

z=1

三重积分请使用截面法求解。

截面D1：x²＋y²≤2-z²，1≤z≤√2

截面D2：x²＋y²≤z，0≤z≤1

所以

体积=∫(1,√2)dz∫∫D1 dxdy +∫(0,1)dz∫∫D2 dxdy

=∫(1,√2)π（2-z²）dz+∫（0，1）πz²dz

=π(2z-z³/3)|(1,√2)+πz³/3|(0,1)

=π【2√2-2√2/3-2+1/3】+π/3

=π(4√2/3 -5/3)+π/3

=4π√2/3-4π/3

扩展资料：

三重积分就是四维空间的体积。当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，三维空间质量值就等于其体积值。当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。

设Ω为空间有界闭区域，f（x，y，z）在Ω上连续，如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为奇函数。

Answer 2

体积=∫∫D [√(2-x²-y²)-(x²＋y²)]dxdy
用极坐标去做即可。

追问

用三重积分如何解，主要不懂如何求Ω域。

追答

球面x^2+y^2+z^2=2和抛物面z=x^2+y^2
z²＋z-2=0
(z+2)(z-1)=0
z=1

三重积分请使用截面法求解。
截面D1：x²＋y²≤2-z²，1≤z≤√2
截面D2：x²＋y²≤z，0≤z≤1
所以
体积=∫(1,√2)dz∫∫D1 dxdy +∫(0,1)dz∫∫D2 dxdy
=∫(1,√2)π（2-z²）dz+∫（0，1）πz²dz
=π(2z-z³/3)|(1,√2)+πz³/3|(0,1)
=π【2√2-2√2/3-2+1/3】+π/3
=π(4√2/3 -5/3)+π/3
=4π√2/3-4π/3

追问

能用球坐标求解下不，非常感谢！

追答

不能。

追问

为啥？

追答

z=x^2+y^2
用球坐标表示很复杂。
所以
不要轻易使用球坐标。

追问

哦哦，对了我看了一下课本您这个答案跟课本上的对不上号啊。。。