Question

求圆x²+y²-4=0与圆x²+y²-4x+4y-12=0的公共弦的长。

Answer 1

x²+y²-4x+4y-12=0

（X-2）²+（Y+2）²=（2√5）²=R²

x²+y²-4=0

x²+y²=2²=r²

AC2=BC2=R=2√5,AC1=BC1=r=2,    C1C1=√2²+2²=2√2,两相交于AB，

连接AB，C1C2，交于M，·C1C2垂直且平分AB，AB=1/2AB

AM²=AC1²-C1M²，即，AM²=4-C1M².....（1）

AM²=AC2²-（C1C2-C1M）²，即，AM²=20-（2√2-C1M）²    =12+4√2C1M-C1M².....（2）

（2）-（1）：0=8-4√2C1M，C1M=√2，AM²=4-2=2，AM=√2，AB=2√2。

公共弦的长为2√2。

Answer 2

两圆相减得公共弦方程
4x-4y+8=0

y=x+2

代入方程（1）
x²+（x+2)²-4=0
3x²+4x=0
x1=0, y1=2
x2=-4/3, y2=-2/3
公共弦长的平方为
（x2-x1)^2+(y2-y1)^2=16/9+64/9=80/9
公共弦长的平方为
4√5/3