Question

若x,y都是正整数,且满足x2+y2=(xy/2-x-y)2,求x+y的值.

Answer 1

x²+y²=(xy/2 -x-y)²
x²+y²=x²y²/4 +x²+y² -x²y-xy²+2xy
x²y²/4 -x²y-xy²+2xy=0
(xy/4)(xy-4x-4y+8)=0
x，y均为正整数，xy/4>0
xy-4x-4y+8=0
(y-4)x=4y-8
y=4时，等式左边=0，右边=8，左≠右，等式不成立，因此y≠4
x=(4y-8)/(y-4)
x>0
(4y-8)/(y-4)>0
(y-2)/(y-4)>0
y>4或y<2
y<2时，y为正整数，y=1，此时x=(4-8)/(1-4)=4/3，不是整数，舍去，因此y>4
x=(4y-8)/(y-4)=(4y-16+8)/(y-4)=[4(y-4)+8]/(y-4)=4+ 8/(y-4)
要x为正整数，8/(y-4)为正整数，y可以为5，6，8，12
y=5时，x=4+8=12 x+y=12+5=17
y=6时，x=4+4=8 x+y=8+6=14
y=8时，x=4+2=6 x+y=6+8=14
y=12时，x=4+1=5 x+y=5+12=17
综上，得x+y的值为17或14