Question

概率论中互斥事件一定独立吗？

我认为：如果AB=空集，那么就是说若A发生则B一定不发生，也就是说A是否发生影响B是否发生，那么A和B一定不独立。
但是辅导书上说“独立与互斥事件之间没有必然的互推关系”，请问该如何解释？

Answer 1

同意【轻剪无绪】所说。如果他说的已经帮你解决问题了，你就忽略我的回答吧。我只是补充一下：
　　对于任意的两个事件A、B，它们的组合事件不外乎以下4种：
　　①、AB——A、B都发生；
　　②、AB′——A发生，B不发生；
　　③、A′B——A不发生，B发生；
　　④、A′B′——A、B都不发生；
此外，我们还经常会讨论下面这种组合事件：
　　⑤、A＋B——A、B至少有一个发生；
显然：
　　⑤＝①＋②＋③；

下面，我们通过分析独立事件和互斥事件的上述概率，来看看它们之间的区别：
　　设：A、B独自发生的概率分别为：
　　　　P（A）＝a；
　　　　P（B）＝b；
　　那么，显然有：
　　　　P（A′）＝1－a；
　　　　P（B′）＝1－b；

而各组合事件的概率就是：
　　组合情况　　　A、B独立　　　　　A、B互斥
　　　①　　　　　　a×b　　　　　　　　　0
　　　②　　　　a×（1－b）　　　　　　　a
　　　③　　　　（1－a）×b　　　　　　　b
　　　④　　（1－a）×（1－b）　　　1－a－b
　　　⑤　　　a＋b－（a×b）　　　　　a＋b

以上结果是根据以下定理推出来的：
　　对任意事件A、B：
（1）P（AB）＋P（AB′）＋P（A′B）＋P（A′B′）＝1；
（2）P（A＋B）＝P（AB）＋P（AB′）＋P（A′B）；
（3）P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；
　　若A、B独立，则：
（1）P（AB）＝P（A）×P（B）；
（2）A与B′、A′与B、A′与B′，也分别相互独立；
　　若A、B互斥，则：
（1）各组合事件的概率，完全可以借助集合图形来理解和求解。
例如：
　　P（AB）＝P（A∩B）＝P（∅）＝0；
　　P（AB′）＝P（A－B）＝P（A－A∩B）＝P（A－∅）＝P（A）；

最后，再补充一点：
　　从①～⑤各组合事件的概率表中我们可以看出，独立事件和互斥事件确实如【轻剪无绪】所说，是完全不同的两类事件。只不过，在a、b分别为0和1时，两类事件的上述各种概率就变得相同了。但话又说回来，我们一般是不考虑不可能事件和必然事件的概率问题的。

Answer 2

同意【轻剪无绪】所说。如果他说的已经帮你解决问题了，你就忽略我的回答吧。我只是补充一下:
对于任意的两个事件A、B，它们的组合事件不外乎以下4种:
①、AB--A、B都发生;
②、AB′--A发生，B不发生;
③、A′B--A不发生，B发生;
④、A′B′--A、B都不发生;
此外，我们还经常会讨论下面这种组合事件:
⑤、A+B--A、B至少有一个发生;
显然:
⑤=①+②+③;
下面，我们通过分析独立事件和互斥事件的上述概率，来看看它们之间的区别:
设:A、B独自发生的概率分别为:
P(A)=a;
P(B)=b;
那么，显然有:
P(A′)=1-a;
P(B′)=1-b;
而各组合事件的概率就是:
组合情况
A、B独立
A、B互斥
①
a×b
0
②
a×(1-b)
a
③
(1-a)×b
b
④
(1-a)×(1-b)
1-a-b
⑤
a+b-(a×b)
a+b
以上结果是根据以下定理推出来的:
对任意事件A、B:
(1)P(AB)+P(AB′)+P(A′B)+P(A′B′)=1;
(2)P(A+B)=P(AB)+P(AB′)+P(A′B);
(3)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB);
若A、B独立，则:
(1)P(AB)=P(A)×P(B);
(2)A与B′、A′与B、A′与B′，也分别相互独立;
若A、B互斥，则:
(1)各组合事件的概率，完全可以借助集合图形来理解和求解。
例如:
P(AB)=P(A∩B)=P(∅)=0;
P(AB′)=P(A-B)=P(A-A∩B)=P(A-∅)=P(A);
最后，再补充一点:
从①~⑤各组合事件的概率表中我们可以看出，独立事件和互斥事件确实如【轻剪无绪】所说，是完全不同的两类事件。只不过，在a、b分别为0和1时，两类事件的上述各种概率就变得相同了。但话又说回来，我们一般是不考虑不可能事件和必然事件的概率问题的。

Answer 3

独立事件举个例子：明天你吃米饭和明天你中大奖，相互独立，互不干涉。
互斥事件：你明天中午吃米饭，和吃馒头，有了一个就没有另一个，所以互斥不会同时发生，互斥是一个总事件下面的小事件互斥，而独立是两个大事件相互独立。

Answer 4

你的辅导书有问题吧，互斥即两事件不能同时发生，那还能独立吗？显然独立必不互斥，互斥必不独立，即二者不能同时成立。也可用独立与互斥的定义证明。