Question

如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图像与x轴交于点A（-2，0），B，与y轴交于点C，tan∠ABC=2． （

如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图像与x轴交于点A（-2，0），B，与y轴交于点C，tan∠ABC=2． （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？

Answer 1

解：（1）依题意，可知 C(0,8),则B(4,0) 将A(-2,0)，B(4，0)代入 y=ax2+bx+8，  解得 配方得y ，顶点D（1,9）.    ---------3分 （2）假设满足条件的点 存在，依题意设 ， 由 求得直线 的解析式为 ， 它与 轴的夹角为 ． 过点P作PN⊥y轴于点N. 依题意知，∠NPO=30°或∠NPO=60°. ∵PN=2，∴ON= 或2 ． ∴存在满足条件的点 ， 的坐标为（2， ）和(2，2 )．-----------6分 （3）由上求得 ． 当抛物线向上平移时，可设解析式为 ． 当 时， ． 当 时， ． 或 ． 由题意可得m的范围为 ． ∴ 抛物线最多可向上平移72个单位．     -----------8分

略