Question

已知函数f（x）=ax2+xlnx，（a∈R）（1）当a=-12时，判断函数f（x）在定义域内的单调性并给予证明；（2）

已知函数f（x）=ax2+xlnx，（a∈R）（1）当a=-12时，判断函数f（x）在定义域内的单调性并给予证明；（2）在区间（1，2）内任取两个实数p，q，且p≠q，若不等式f(p+1)?f(q+1)p?q＞1恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：ln223+ln333+ln443+…+lnnn3＜1e（其中n＞1，n∈N*，e=2.71828…）

Answer 1

（1）当a=-

1

2

时，f（x）=-

1

2

x²+xlnx，
函数f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）在（0，+∞）内单调递减．
下面给出证明：
f′（x）=-x+lnx+1，
令g（x）=-x+lnx+1，则g′（x）=-1+

1

x

=

1?x

x

，
∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）在x=1时，g（x）取得最大值，即g（1）=0，
∴g（x）＜g（1）=0，即f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）内单调递减；
（2）由于

f(p+1)?f(q+1)

p?q

＞1表示点（p+1，f（p+1）） 与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，
∵实数p，q在区间（1，2）内，
∴p+1 和q+1在区间（2，3）内．
∵不等式

f(p+1)?f(q+1)

p?q

＞1恒成立，
∴函数图象上在区间（2，3）内任意两点连线的斜率大于1，
∴f′（x）=2ax+lnx+1＞1 在（2，3）内恒成立，
又由函数的定义域知，x＞0，
∴a＞-

lnx

2x

在（2，3）内恒成立，
令h（x）=-

lnx

2x

，则h′（x）=

lnx?1

2x2

=0，解得x=e，
当x∈（2，e）时，h′（x）＜0，故函数h（x）在（2，e）上单调递减，
当x∈（e，3）时，h′（x）＞0，故函数h（x）在（e，3）上单调递增，
∴h（x）≤g（2）=-

ln2

4

，h（x）≤g（3）=-

ln3

6

，而-

ln2

4

＞-

ln3

6

，
∴a≥-

ln2

4

，即实数a的取值范围是[-

ln2

4

，+∞）；
（3）证明：构造p（x）=

lnx

x

，则p′（x）=

1?lnx

x2

=0，解得x=e，
当x∈（0，e）时，p′（x）＞0，故函数p（x）在（0，e）上单调递增，
当x∈（e，+∞）时，p′（x）＞0，故函数p（x）在（e，+∞）上单调递减，
∴当x=e时，函数p（x）取最大值

1

e

，则

lnx

x

＜

1

e

，
∴

lnx

x3

＜

1

ex2

，即

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