(2013?泸州)如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.(1)求证:CD2=CA?CB;(2)
(2013?泸州)如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.(1)求证:CD2=CA?CB;(2)求证:CD是⊙O的切线;(3)过点B作⊙O的...
(2013?泸州)如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.(1)求证:CD2=CA?CB;(2)求证:CD是⊙O的切线;(3)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若BC=12,tan∠CDA=23,求BE的长.
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(1)证明:∵∠CDA=∠CBD,∠C=∠C,
∴△ADC∽△DBC,
∴
=
,即CD2=CA?CB;
(2)证明:如图,连接OD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠1+∠3=90°.
∵OA=OD,
∴∠2=∠3,
∴∠1+∠2=90°.
又∠CDA=∠CBD,即∠4=∠1,
∴∠4+∠2=90°,即∠CDO=90°,
∴OD⊥CD.
又∵OD是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
(3)解:如图,连接OE.
∵EB、CD均为⊙O的切线,
∴ED=EB,OE⊥DB,
∴∠ABD+∠DBE=90°,∠OEB+∠DBE=90°,
∴∠ABD=∠OEB,
∴∠CDA=∠OEB.
而tan∠CDA=
,
∴tan∠OEB=
=
,
∵∠ODC=∠EBC=90°,∠C=∠C,
∴Rt△CDO∽Rt△CBE,
∴
=
=
=
,
∴CD=8,
在Rt△CBE中,设BE=x,
∴(x+8)2=x2+122,
解得x=5.
即BE的长为5.
∴△ADC∽△DBC,
∴
AC |
DC |
DC |
BC |
(2)证明:如图,连接OD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠1+∠3=90°.
∵OA=OD,
∴∠2=∠3,
∴∠1+∠2=90°.
又∠CDA=∠CBD,即∠4=∠1,
∴∠4+∠2=90°,即∠CDO=90°,
∴OD⊥CD.
又∵OD是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
(3)解:如图,连接OE.
∵EB、CD均为⊙O的切线,
∴ED=EB,OE⊥DB,
∴∠ABD+∠DBE=90°,∠OEB+∠DBE=90°,
∴∠ABD=∠OEB,
∴∠CDA=∠OEB.
而tan∠CDA=
2 |
3 |
∴tan∠OEB=
OB |
BE |
2 |
3 |
∵∠ODC=∠EBC=90°,∠C=∠C,
∴Rt△CDO∽Rt△CBE,
∴
CD |
CB |
OD |
BE |
OB |
BE |
2 |
3 |
∴CD=8,
在Rt△CBE中,设BE=x,
∴(x+8)2=x2+122,
解得x=5.
即BE的长为5.
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