已知函数f(x)=lnx-(a/x) (1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的的单调性 (2)
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求导f'(x)=(1/x)+(a/x²)=(x+a)/x²
x不能为0
所以x²>0
当x+a>0时,x>-a, 导数大于0,即x∈[-a,0)∪(0,+无穷)单调递增
当x+a<0时,x<-a, 导数小于0,即x∈(-无穷,-a)单调递减
(2)求f'(x)=(x+a)/x²=0 x=-a
当-a<1时及 a>-1时 f'(x)=(x+a)/x²(在[1,e]上)>0
f(x)在[1,e]上>0 单调递增
f(x)min=f(1)=-a=2 a=-2 不成立
当-a∈[1,e]时及 a∈[-e,-1]时 f'(x)=(x+a)/x²>0在[-a,e]上>0 单调递增
f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=2
ln(-a)=1
-a=e
a=-e
当-a>e时及 a<-e时 f'(x)=(x+a)/x²(在[1,e]上)<0
f(x)在[1,e]上<0 单调递减
f(x)min=f(e)=1-a/e=2 a/e=-1 a=-e不成立
综上 a=-e
x不能为0
所以x²>0
当x+a>0时,x>-a, 导数大于0,即x∈[-a,0)∪(0,+无穷)单调递增
当x+a<0时,x<-a, 导数小于0,即x∈(-无穷,-a)单调递减
(2)求f'(x)=(x+a)/x²=0 x=-a
当-a<1时及 a>-1时 f'(x)=(x+a)/x²(在[1,e]上)>0
f(x)在[1,e]上>0 单调递增
f(x)min=f(1)=-a=2 a=-2 不成立
当-a∈[1,e]时及 a∈[-e,-1]时 f'(x)=(x+a)/x²>0在[-a,e]上>0 单调递增
f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=2
ln(-a)=1
-a=e
a=-e
当-a>e时及 a<-e时 f'(x)=(x+a)/x²(在[1,e]上)<0
f(x)在[1,e]上<0 单调递减
f(x)min=f(e)=1-a/e=2 a/e=-1 a=-e不成立
综上 a=-e
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