Question

在数列{a n }中，a 1 =1，当n≥2时，其前n项和S n 满足S n 2 =a n ( S n - 1 2 ) ．（1）

在数列{a n }中，a 1 =1，当n≥2时，其前n项和S n 满足S n 2 =a n ( S n - 1 2 ) ．（1）求S n 的表达式；（2）设b n = 2 n S n ，求{b n }的前n项和T n ．

Answer 1

解　（1）∵S n 2 =a n ( S n - 1 2 ) ，a n =S n -S n-1 （n≥2）， ∴S n 2 =（S n -S n-1 ） ( S n - 1 2 ) ， 即2S n-1 S n =S n-1 -S n ，…① 由题意S n-1 ?S n ≠0， 将①式两边同除以S n-1 ?S n ，猜颤饥得 1 Sn - 1 Sn-1 =2， ∴数列{ 1 Sn }是首项为 1 S1 = 1 a1 =1，公差为2的等差数列． 可得 1 Sn =1+2（n-1）=2n-1，得S n = 1 2n-1 ； （2）由（1）得 1 Sn =2n-1， ∴ b n = 2 n S n =(2n-1)? 2 n 因洞碰此， T n =1×2+3× 2 2 +5× 2 3 +…(2n-1) 2 n 两边都乘以2，得 2 T n = 1× 2 2 +3× 2 3 +…(2n-3) 2 n +(2n-1) 2 n+1 两式相减，得 -T n =2+2( 2 2 + 2 3 +…+ 2 n )- （2n-1）?2 n+1 =2+8（2 n-1 -1）-（2n-1）?2 n+1 ∴T n =（2n-1）?2 n+1 +6-2?2 n+1 化简得穗返 T n =(2n-3)? 2 n+1 +6 ．