在数列{a n }中,a 1 =1,当n≥2时,其前n项S n 满足S n 2 =a n ( S n - 1 2 ) .(I)求a

在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项Sn满足Sn2=an(Sn-12).(I)求an;(II)设bn=Sn2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn;(III)是... 在数列{a n }中,a 1 =1,当n≥2时,其前n项S n 满足S n 2 =a n ( S n - 1 2 ) .(I)求a n ;(II)设b n = S n 2n+1 ,求数列{b n }的前n项和T n ;(III)是否存在自然数m,使得对任意n∈N * ,都有T n > 1 4 (m-8)成立?若存在,求出m的最大值;若不存在,请说明理由. 展开
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祀戎0446
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(I)∵S n 2 =a n (S n -
1
2
)(n≥2)
∴S n 2 =(S n -S n-1 )(S n -
1
2

∴2S n S n-1 =S n-1 -S n
∴2=
1
S n
-
1
S n-1
…(2分)
又a 1 =1,
1
S 1
=1
∴数列 {
1
S n
}
为首项为1,公差为2的等差数列.…(3分)
1
S n
=1+(n-1)?2=2n-1
∴S n =
1
2n-1

∴a n =
1,(n=1)
-
2
(2n-1)(2n-3)
,(n≥2)
…(5分)
(II)b n =
S n
2n+1
=
1
(2n+1)(2n-1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1

∴T n =b 1 +b 2 +…+b n =
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
2n-3
-
1
2n-1
)+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]
=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1
…棚枝(8分)
(III)令T(x)=
x
2x+1
,则T(x)在[1,+∞)上是增函数
∴当n=1时T n =
n
2n+1
(n∈ N * )
取得最小值. T 1 =
1
3
…(10分)
由题意可知,要使得对任意n∈N * ,都有T n
1
4
(m-8)成立,
只要T 1
1
4
(m-8)即可.
1
3
1
4
(m-8),解之喊和销得m<
28
3

又∵m∈n,∴郑游m=9.…(12分)
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