在数列{a n }中,a 1 =1,当n≥2时,其前n项S n 满足S n 2 =a n ( S n - 1 2 ) .(I)求a
在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项Sn满足Sn2=an(Sn-12).(I)求an;(II)设bn=Sn2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn;(III)是...
在数列{a n }中,a 1 =1,当n≥2时,其前n项S n 满足S n 2 =a n ( S n - 1 2 ) .(I)求a n ;(II)设b n = S n 2n+1 ,求数列{b n }的前n项和T n ;(III)是否存在自然数m,使得对任意n∈N * ,都有T n > 1 4 (m-8)成立?若存在,求出m的最大值;若不存在,请说明理由.
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祀戎0446
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(I)∵S n 2 =a n (S n - )(n≥2) ∴S n 2 =(S n -S n-1 )(S n - ) ∴2S n S n-1 =S n-1 -S n ∴2= - …(2分) 又a 1 =1, =1 ∴数列 { } 为首项为1,公差为2的等差数列.…(3分) ∴ =1+(n-1)?2=2n-1 ∴S n = . ∴a n = …(5分) (II)b n = = = ( - ) ∴T n =b 1 +b 2 +…+b n = [(1- )+( - )+…+( - )+( - )] = (1- )= …棚枝(8分) (III)令T(x)= ,则T(x)在[1,+∞)上是增函数 ∴当n=1时T n = (n∈ N * ) 取得最小值. T 1 = …(10分) 由题意可知,要使得对任意n∈N * ,都有T n > (m-8)成立, 只要T 1 > (m-8)即可. ∴ > (m-8),解之喊和销得m< 又∵m∈n,∴郑游m=9.…(12分) |
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