Question

在数列{a n }中，a 1 =1，当n≥2时，其前n项和S n 满足S n （S n -a n ）+2a n =0（Ⅰ）证明数列{ 1

在数列{a n }中，a 1 =1，当n≥2时，其前n项和S n 满足S n （S n -a n ）+2a n =0（Ⅰ）证明数列{ 1 S n }是等差数列；（Ⅱ）求S n 和数列{a n }的通项公式a n ；（Ⅲ）设b n = S n n ，求数列{b n }的前n项和T n ．

Answer 1

证明：丛芦（I）∵当n≥2时，a n =S n -S n-1 ，且S n （S n -a n ）+2a n =0 ∴S n [S n -（S n -S n-1 ）]+2（S n -S n-1 ）判伏=0 即S n ?S n-1 +2（S n -S n-1 ）=0 即 1 S n - 1 S n-1 = 1 2 又∵S 1 =a 1 =1，故数列{ 1 S n }是以1为首项，以 1 2 为公差的等差数列 （II）由（I）得： 1 S n = n+1 2 ∴S n = 2 n+1 当n≥2时，a n =S n -S n-1 = -2 n(n+1) ∵n=1时， -2 n(n+1) 无意义 故a n = 1，n=1 -2 n(n+1) ，n≥渗冲带2 （III）∵ b n = S n n = 2 n(n+1) =2（ 1 n - 1 n+1 ） ∴T n =2（1- 1 2 + 1 2 - 1 3 +…+ 1 n - 1 n+1 ）=2（1- 1 n+1 ）= 2n n+1