如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ (0＜θ＜ π 2

如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ(0＜θ＜π2)．（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；（2）当角θ... 如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ (0＜θ＜ π 2 ) ．（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；（2）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围． 展开
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#热议# 什么是淋病？哪些行为会感染淋病？
朝颜一只花Br096
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法一（几何法）：
证明：（1）∵AC=BC=a
∴△ACB是等腰三角形，
又D是AB的中点∴CD⊥AB，
又VC⊥底面ABC∴VC⊥AB
于是AB⊥平面VCD．
又AB?平面VAB∴平面VAB⊥平面VCD
（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，连接BH
则由（1）知AB⊥CH，∴CH⊥平面VAB
于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角．
在Rt△CHD中，CD=
2
2
a ， CH=
 2
2
asinθ ；
设∠CBH=φ，在Rt△BHC中，CH=asinφ∴
2
2
sinθ=sinφ ∵ 0＜θ＜
π
2
∴0＜sinθ＜1， 0＜sinφ＜
 2
2



又 0≤φ≤
π
2
，∴ 0＜φ＜
π
4

即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为 (0，
π
4
) ．
法二（向量法）：
证明：（1）以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D(
a
2
，
a
2
，0)，V(0，0，
 2
2
atanθ) ，
于是，
VD
=(
a
2
，
a
2
，-
 2
2
atanθ) ，
CD
=(
a
2
，
a
2
，0) ，
AB
=(-a，a，0) ．
从而
AB
?
CD
=(-a，a，0)?(
a
2
，
a
2
，0)=-
1
2
a 2 +
1
2
a 2 +0=0 ，即AB⊥CD．
同理
AB
?
VD
=(-a，a，0)?(
a
2
，
a
2
，-
 2
2
atanθ)=-
1
2
a 2 +
1
2
a 2 +0=0 ，
即AB⊥VD．又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．
又AB?平面VAB．∴平面VAB⊥平面VCD．
（2）设直线BC与平面VAB所成的角为φ，平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z），
则由 n?
AB
=0，n?
VD
=0 ．
得
-ax+ay=0
a
2
x+
a
2
y-
<
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