Question

如图所示,在三棱锥V-ABC中,VC垂直底面ABC,AC垂直BC,D是AB的中点,且AC=BC=a,角VDC=D(0<D<90).

当角D变化时,求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围.

求速解,急急急!!!
尽量用向量做，感谢您的帮助！！！

Answer 1

易知AC,BC,VC两两垂直

建立直角坐标系如图，
因为AC = BC,D为AB中点，所以CD垂直AB，CD = a/sqrt(2),而VC垂直面CAB，故角VCD = 90, 设面VAB的法向量t为(x,y,z),t垂直于向量VA,VB,而角VDC = D,所以VC = a*tan(D)/sqrt(2), 故VA = (a,0,-a*tan(D)/sqrt(2)),VB = (0,a,-a*tan(D)/sqrt(2)),
由于t*VA = t*VB = 0,可知，t = (tan(D)/sqrt(2),tan(D)/sqrt(2),1),而CB = (0,a,0),故CB与面VAB的夹角α满足:
α = 90 - <t,CB>
故：
sin(α) = cos(<t,CB>) = t*CB/||t||/||CB|| = tan(D)/sqrt(2)/sqrt(tanD*tanD+1) = sin(D)/sqrt(2)
根据sin(D)在0-90上的单调性，0<sin(α)<1/sqrt(2),
根据arcsinx的在0-1上的单调性，0<α<arcsin(1/sqrt(2))
故BC与VAB所成的角的取值范围是(0,arcsin(1/sqrt(2))

希望对你有所帮助！