Question

如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．（1）∠OCD的平分线CE交⊙O于E，连接OE．求证：E为

如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．（1）∠OCD的平分线CE交⊙O于E，连接OE．求证：E为 ADB 的中点；（2）如果⊙O的半径为1，CD= 3 ．①求O到弦AC的距离；②填空：此时圆周上存在______个点到直线AC的距离为 1 2 ．

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Answer 1

（1）证明：∵OC=OE ∴∠E=∠OCE（1分） 又∠OCE=∠DCE ∴∠E=∠DCE ∴OE ∥ CD（2分） 又OE⊥AB ∴∠AOE=∠BOE=90° ∴E为 ADB 的中点；（3分） （2）①∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，CD= 3 ∴CH= 1 2 CD= 3 2 （4分） 又OC=1 ∴sin∠COB= CH OC = 3 2 1 = 3 2 ∴∠COB=60°（5分） ∴∠BAC=30° 作OP⊥AC于P，则OP= 1 2 OA= 1 2 ；（6分） ② OP= 1 2 ，则MP= 1 2 ，即M到AC的距离是 1 2 ，在 AC 上其它点到AC的距离一定小于 1 2 ； 在 ADB 上一定有2个点到AC的距离等于 1 2 ． 故圆上有3点到AC的距离是 1 2 ． 故答案是：3．（7分）