Question

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1．（Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1．（Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：1a1+1a2+…+1an＜2．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，…3分
∴a_n=2ⁿ-1（n∈N^_*）．…5分
（Ⅱ）∵n≥2时（2ⁿ-1）-2^n-1=2^n-1＞0，即2ⁿ-1＞2^n-1，
∴

1

2n?1

＜

1

2n?1

（n≥2），…9分
所以

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n?1

=2（1-

1

2n?1

）＜2．…12分