Question

（1）证明拉格朗日中值定理，若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，则ξ∈（a，b），得证f（b

（1）证明拉格朗日中值定理，若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，则ξ∈（a，b），得证f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）．（2）证明：若函数f（x）在x=0处连续，在（0，σ），（σ＞0）内可导，且limx→0+f′(x)＝A，则f+′(0)存在，且f′+（0）=A．

Answer 1

证明：
（1）作辅助函数φ(x)＝f(x)?f(a)?

f(b)?f(a)

b?a

(x?a)，
易验证φ（x）满足：φ（a）=φ（b）=0；
又因为：φ（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，
且φ′(x)＝f′(x)?

f(b)?f(a)

b?a

．
根据罗尔定理，可得在（a，b）内至少有一点ξ，使φ′（ξ）=0，
即：f′（ξ）-

f(b)?f(a)

b?a

=0
因此：f′（ξ）=

f(b)?f(a)

b?a

．ξ∈（a，b）
即：f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）．ξ∈（a，b）
命题得证．

（2）任取x₀∈（0，δ），则函数f（x）满足：
在闭区间[0，x₀]上连续，开区间（0，x₀）内可导，
根据拉格朗日中值定理可得：存在ξx0∈(0，x0)?(0，δ)，使得f′(ξ x0)＝

f(x0)?f(0)

x0?0

   （*）
又由于

lim

x→0+

f′(x)＝A，对上式（*式）两边取x0→0+时的极限可得：f+′(0)＝

lim

x0→0+

f(x0)?f(0)

x0?0

＝

lim

x0→0+

f′(ξx0)＝

lim

ξx0→0+

f′(ξx0)＝A
故f+′(0)存在，且f+′(0)＝A．