Question

在双曲线C： 中，过焦点垂直于实轴的弦长为 ，焦点到一条渐近线的距离为1。（1）求该双曲线的方程；（2

在双曲线C： 中，过焦点垂直于实轴的弦长为 ，焦点到一条渐近线的距离为1。（1）求该双曲线的方程；（2）若直线L：y=kx+m（m≠0，k≠0）与双曲线C交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的右顶点。求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。





Answer 1

解：（1）由题意，得 ， 解得： a = ，b=1， ∴所求双曲线方程为 。 （2） 联立 ， 得 ， ， 化简，得 ， ∴ ， ∵以AB为直径的圆过双曲线的右顶点M（ ，0）， ∴ ， 即 ， 又 ， 即 ， 整理，得 ， ， 当 时，L的方程为 ，直线过定点（ ，0)，与已知矛盾； 当 时，L的方程为 ，直线过定点（2 ，0）；  ∴直线L过定点，定点坐标为（2 ，0）。