Question

已知F1，F2是双曲线x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，PQ是经过点F1且垂直于x轴的双曲线的弦．（1）

已知F1，F2是双曲线x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，PQ是经过点F1且垂直于x轴的双曲线的弦．（1）若∠PF2Q=90°，求该双曲线的离心率；（2）若△PF2Q是锐角三角形，求该双曲线的离心率．

Answer 1

（1）∵PQ是经过F₁且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF₂Q=90°，
∴|PF₁|=|F₁F₂|，
令x=-c，代入双曲线方程得，y=±b

c2 a2 ?1

=±

b2

a

，
∴

b2

a

=2c，
再由b²=c²-a²，e=

c

a

，即有e²-2e-1=0，
∴e=1±

2

∵e＞1∴e=1+

2

故该双曲线的离心率为1+

2

；
（2）若△PF₂Q是锐角三角形，则由于△PF₂Q是等腰三角形，
故只要∠PF₂Q为锐角即可，由（1）得，P（-c，

b2

a

），Q（-c，-

b2

a

），
F₂（c，0），

F2P

=（-2c，

b2

a

），

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