Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log2x]=3，则方程f

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log2x]=3，则方程f（x）-f′（x）=2的解所在的区间是（　　）A．（0，12）B．（12，1）C．（1，2）D．（2，3）

Answer 1

根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-log₂x为定值，
设t=f（x）-log₂x，则f（x）=log₂x+t，
又由f（t）=3，即log₂t+t=3，
解可得，t=2；
则f（x）=log₂x+2，f′（x）=

1

ln2?x

，
将f（x）=log₂x+2，f′（x）=

1

ln2?x

代入f（x）-f′（x）=2，
可得log₂x+2-

1

ln2?x

=2，
即log₂x-

1

ln2?x

=0，
令h（x）=log₂x-

1

ln2?x

，
分析易得h（1）=

1

ln2

＜0，h（2）=1-

1

2ln2

＞0，
则h（x）=log₂x-

1

ln2?x

的零点在（1，2）之间，
则方程log₂x-

1

ln2?x

=0，即f（x）-f′（x）=2的根在（1，2）上，
故选C．