Question

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，且b≠0，函数g(x)＝13bx3?bx，若

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，且b≠0，函数g(x)＝13bx3?bx，若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）=g（x2），求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=lnx-ax，
∴x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞）
∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数
当a＞0时，∵f'（x）=

1

x

?a=

1?ax

x

∵f′(x)＞0，则1?ax＞0，ax＜1，x＜

1

a

f′(x)＜0，则1?ax＜0，ax＞1，x＞

1

a

即当a＞0时f(x)在(0，

1

a

)上是增函数，在(

1

a

，+∞)上是减函数．
（2）设f（x）的值域为A，g（x）的值域为B，
则由已知，对于任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），
使f（x₁）=g（x₂），得A?B
由（1）知a=1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴f（x）在x∈（1，2）上单调递减，
∴f（x）的值域为A=（ln2-2，-1）
∵g'（x）=bx²-b=b（x-1）（x+1）
∴（i）当b＜0时，g（x）在（1，2）上是减函数，
此时，g（x）的值域为B＝(

2

3

b，?

2

3

b)
为满足A?B，又?

2

3

b≥0＞?1
∴

2

3

b≤ln2?2.即b≤

3

2

ln2?3.
（ii）当b＞0时，g（x）在（1，2）上是单调递增函数，
此时，g（x）的值域为B＝(?

2

3

b，

2

3

b)
为满足A?B，又

2

3

b≥0＞?1.
∴?

2

3

b≤ln2?2
∴b≥?

3

2

(ln2?2)＝3?

3

2

ln2，
综上可知b的取值范围是(?∞，

3

2

ln2?3]∪[3?

3

2

ln2，+∞)