Question

如图，直线l1：y1=-x+1与x轴、y轴交于A、E两点，直线l2：y2=x-3与x轴、y轴交于B、D两点，直线l1与直线l2

如图，直线l1：y1=-x+1与x轴、y轴交于A、E两点，直线l2：y2=x-3与x轴、y轴交于B、D两点，直线l1与直线l2相交于点C，（1）求点C的坐标；（2）x取何值的时候，y1＞y2；（3）连接EB，求△EBC的面积；（4）将△EBC以直线l2为对称轴作轴对称变换，点E的对称点E′，求点E′的坐标．

Answer 1

（1）解方程组

y＝?x+1 y＝x?3

得

x＝2 y＝1

，
所以点C的坐标为（2，-1）；

（2）当x＜2时，y₁＞y₂；

（3）B点坐标为（3，0），E点坐标为（0，1），A点坐标为（1，0），
所以△EBC的面积=S_△EAB+S_△CAB=

1

2

×1×2+

1

2

×1×2=2；

（4）D点坐标为（0，-3），
则OB=OD，OA=OE，
所以△OBD和△OAE都是等腰直角三角形，
所以∠OAE=45°，∠OBD=45°，
则∠BAC=45°，
∴∠ACB=90°，
∴以直线l₂为对称轴作轴对称变换，点E的对称点E′在直线y=-x+1上，
设点E′的坐标为（x，-x+1），作E′F⊥x于F点，
∴BE²=BE′²=OE²+OB²=1+9=10，
而FB=x-3，FE′=-x+1，
在Rt△BE′F中，BE′²=E′F²+BF²，
∴（-x+1）²+（x-3）²=10，解得x₁=4，x₂=0（舍去），
∴点E′的坐标为（4，-3）．