（2013?和平区二模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面节ABCAA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O
（2013?和平区二模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面节ABCAA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC的中点．（I）求证：...
（2013?和平区二模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面节ABCAA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC的中点．（I）求证：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）若E为BC1的中点，求证：OE∥平面A1AB；（III）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值．
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解答：
（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，
所以A1O⊥AC．
又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O?平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）证明：以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=
AC=1，
所以得：O（0，0，0），A（1，0，0），A1（0，0，
），C1（-2，0，
），E（-1，
，
）
则有：
＝(?1，0，
)，
＝(?1，1，0)，
=（-1，
，
）
设平面A1AB的法向量为
=（x0，y0，z0），则由
，可得
故可取
＝(
，
，1)
∴
?
＝0
∵OE?平面A1AB
∴OE∥平面A1AB；
（III）解：∵C（-1，0，0），∴
=（-1，0，-
（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC．
又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O?平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）证明：以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=
| 1 |
| 2 |
所以得：O（0，0，0），A（1，0，0），A1（0，0，
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
则有：
| AA1 |
| 3 |
| AB |
| OE |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
设平面A1AB的法向量为
| n |
|
|
故可取
| n |
| 3 |
| 3 |
∴
| OE |
| n |
∵OE?平面A1AB
∴OE∥平面A1AB；
（III）解：∵C（-1，0，0），∴
| A1C |
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