Question

设f（x）=3ax 2 +2bx+c，且a+b+c=0，，求证：（1）若f（0）?f（1）＞0，求证：-2＜ b a ＜-1

设f（x）=3ax 2 +2bx+c，且a+b+c=0，，求证：（1）若f（0）?f（1）＞0，求证：-2＜ b a ＜-1；（2）在（1）的条件下，证明函数f（x）的图象与x轴总有两个不同的公共点A，B，并求|AB|的取值范围．（3）若a＞b＞c，g（x）=2ax 2 +（a+b）x+b，求证： x≤- 3 时，恒有f（x）＞g（x）．

Answer 1

（1）若a=0，则b=-c，f（0）?f（1）=c?（3a+2b+c）=-c 2 ≤0与已知矛盾∴a≠0…（2分） 由f（0）?f（1）＞0，得c（3a+2b+c）＞0 由条件a+b+c=0消去c，得（a+b）（2a+b）＜0∵a 2 ＞0∴ (1+ b a )(2+ b a )＜0 ，∴ -2＜ b a ＜-1 …（4分） （2）方程3ax 2 +2bx+c=0的判别式△=4（b 2 -3ac） 由条件a+b+c=0消去b，得 △=4( a 2 + c 2 -ac)=4[(a- c 2 ) 2 + 3 4 c 2 ]＞0 ∴方程f（x）=0有实根 即函数f（x）的图象与x轴总有两个不同的交点A、B．设A（x 1 ，0），B（x 2 ，0） 由条件知 x 1 + x 2 =- 2b 3a x 1 x 2 = c 3a =- a+b 3a ∴（x 1 -x 2 ） 2 =（x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 = 4 9 ? b 2 a 2 + 4 3 (1+ b a )= 4 9 ?( b a + 3 2 ) 2 + 1 3 ∵ -2＜ b a ＜-1 ∴ 1 3 ≤( x 1 - x 2 ) 2 ＜ 4 9 ∴ 3 3 ≤| x 1 - x 2 |＜ 2 3 即 3 3 ≤|AB|＜ 2 3 …（9分） （3）设h（x）=f（x）-g（x）=ax 2 +（b-a）x+c-b=ax 2 -（2a+c）x+a+2c∵a＞b＞c，a+b+c=0∴a＞0且a＞-a-c＞c 即 -2＜ c a ＜- 1 2 又h（x）的对称轴为 x= 2a+c 2a =1+ c 2a ＞0 ∴ x≤- 3 时， h(x)≥3a+ 3 (2a+c)+a+2c=(2+ 3 )(2a+c)＞0 即 x≤- 3 时，f（x）＞g（x）恒成立…（14分）