Question

（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1= ．（1）求证：{ }

（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1= ．（1）求证：{ }是等差数列；（2）求an表达式；（3）若bn=2（1－n）an（n≥2），求证：b22+b32+…+bn2<1．



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Answer 1

【解】（1）∵－an=2SnSn－1，∴－Sn+Sn－1=2SnSn－1（n≥2） Sn≠0，∴ － =2，又 = =2，∴{ }是以2为首项，公差为2的等差数列． （2）由（1） =2+（n －1）2=2n，∴Sn= 当n≥2时，an=Sn－Sn－1=－ n=1时，a1=S1= ，∴an= （3）由（2）知bn=2（1－n）an= ∴b22+b32+…+bn2= + +…+ < + +…+ =（1－ ）+ （ － ）+…+（ － ）=1－ <1．

略