Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F

如图，在棱长为1的正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F的位置，使得D 1 E⊥平面AB 1 F；（II）当 ⊥平面AB 1 F时，求二面角C 1 —EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.

Answer 1

（Ⅰ）当点F是CD的中点时，D 1 E⊥平面AB 1 F.（Ⅱ）

本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分. 解法一：（I）连结A 1 B，则A 1 B是D 1 E在面ABB 1 A；内的射影 ∵AB 1 ⊥A 1 B，∴D 1 E⊥AB 1 ， 于是D 1 E⊥平面AB 1 F D 1 E⊥AF. 连结DE，则DE是D 1 E在底面ABCD内的射影. ∴D 1 E⊥AF DE⊥AF. ∵ABCD是正方形，E是BC的中点. ∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF， 即当点F是CD的中点时，D 1 E⊥平面AB 1 F.…………6分 （II）当D 1 E⊥平面AB 1 F时，由（I）知点F是CD的中点. 又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC， 设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C 1 H，则CH是 C 1 H在底面ABCD内的射影. C 1 H⊥EF，即∠C 1 HC是二面角C 1 —EF—C的平面角. 在Rt△C 1 CH中，∵C 1 C=1，CH= AC= ， ∴tan∠C 1 HC= . ∴∠C 1 HC=arctan ，从而∠AHC 1 = . 故二面角C 1 —EF—A的大小为 . 解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 （1）设DF= x ，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0）， A 1 （0，0，1），B（1，0，1），D 1 （0，1，1），E ，F（ x ，1，0） （1）当D 1 E⊥平面AB 1 F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF. 连结C 1 H，则CH是C 1 H在底面ABCD内的射影. ∴C 1 H⊥EF，即∠AHC 1 是二面角C 1 —EF—A的平面角.