Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点。

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点。 （1）试确定点F的位置，使得D 1 E⊥平面AB 1 F；（2）当D 1 E⊥平面AB 1 F时，求二面角C 1 -EF-A的大小（结果用反三角函数值表示）。

Answer 1

解：（1）连结A 1 B，则A 1 B是D 1 E在面ABB 1 A内的射影 ∵AB 1 ⊥A 1 B， ∴D 1 E⊥AB 1 ， 于是D 1 E⊥平面AB 1 F D 1 E⊥AF 连结DE，则DE是D 1 E在底面ABCD内的射影 ∴D 1 E⊥AF DE⊥AF ∵ABCD是正方形，E是BC的中点 ∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF， 即当点F是CD的中点时，D 1 E⊥平面AB 1 F。 （2）当D 1 E⊥平面AB 1 F时，由（1）知点F是CD的中点 又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD 连结AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C 1 H， 则CH是C 1 H在底面ABCD内的射影 C 1 H⊥EF，即∠C 1 HC是二面角C 1 -EF-C的平面角 在Rt△C 1 CH中，∵C 1 C=1，CH= AC= ， ∴tan∠C 1 HC= ∴∠C 1 HC=arctan ，从而∠AHC 1 = 故二面角C 1 -EF-A的大小为 。