Question

已知抛物线C：y=x2-（m+1）x+1的顶点在坐标轴上．（1）求m的值；（2）m＞0时，抛物线C向下平移n（n＞0）

已知抛物线C：y=x2-（m+1）x+1的顶点在坐标轴上．（1）求m的值；（2）m＞0时，抛物线C向下平移n（n＞0）个单位后与抛物线C1：y=ax2+bx+c关于y轴对称，且C1过点（n，3），求C1的函数关系式；（3）-3＜m＜0时，抛物线C的顶点为M，且过点P（1，y0）．问在直线x=-1上是否存在一点Q使得△QPM的周长最小，如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：当抛物线C的顶点在x轴上时，△=[-（m+1）]²-4=0，
解得m=1或m=-3，
当抛物线C的顶点在y轴上时，-（m+1）=0，
∴m=-1，
即：m=±1或m=-3，
答：m的值是m=±1或m=-3．

（2）解：当m＞0时，m=1，
抛物线C的解析式为y=x²-2x+1，
向下平移n（n＞0）个单位后得到y=x²-2x+1-n，
抛物线y=x²-2x+1-n与抛物线C₁：y=ax²+bx+c关于y轴对称，
∴a=1，b=2，c=1-n，
∴抛物线C₁：y=x²+2x+1-n，
∵抛物线C₁过点（n，3）
∴n²+2n+1-n=3，即n²+n-2=0，
解得n₁=1，n₂=-2（由题意n＞0，舍去）∴n=1
∴抛物线C₁：y=x²+2x，
答：C₁的函数关系式是y=x²+2x．

（3）解：存在，理由是：
当-3＜m＜0时m=-1，
抛物线C的解析式是y=x²+1，
顶点M（0，1），
∵过点P（1，y₀），
∴y₀=1+1=2，
∴P（1，2），
作点M（0，1）关于直线x=-1的对称点M′（-2，1），
设直线PM′的解析式为y=kx+b，
把P（1，2），M′（-2，1）代入得：

2＝k+b 1＝?2k+b

，
解得：

k＝ 1 3 b＝ 5 3

，
∴直线PM′的解析式为y＝

1

3

x+

5

3

，
∴Q(?1，

4

3

)，
答：在直线x=-1上存在一点Q，使得△QPM的周长最小，点Q的坐标是（-1，

4

3

）．